Test: Discutir un sistema de ecuaciones con parámetros usando el teorema de Rouché-Fröbenius

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Las preguntas que encontrarás en el test:

El resultado de hacer el determinante de la matriz de un sistema de ecuaciones lineales con parámetros siempre dependerá de los valores del parámetro que anulan al determinante de dicha matriz.

Un sistema de ecuaciones con parámetros se discute por el teorema de Rouché-Fröbenius y se resuelve mediante el método de Gauss o de Cramer, si es que el sistema es un sistema Cramer.

Si tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que depende de un parámetro m , todos los valores de m que anulen al determinante de la matriz A , hacen que el rango sea, en cualquier caso:

$m\epsilon \mathbbR$ (el parámetro $m$ pertenece a los números reales $\mathbbR$ )

Si tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que depende de un parámetro m , todos los valores de m que NO anulen al determinante de la matriz A , hacen que el rango sea, en cualquier caso:

$m\epsilon \mathbbR$ (el parámetro $m$ pertenece a los números reales $\mathbbR$ )

Se considera el sistema: $\left\\beginmatrix ax+y+z=1 & & \\ x+y+z=1& & \\ x+y=1& & \endmatrix\right.$ Discutirlo mediante el teorema de Rouché-Fröbenius a partir del determinante de la matriz de los coeficientes.

¿Qué valor/es del parámetro $a$ anula/n al determinante?

Dado el siguiente sistema de ecuaciones: $\left\\beginmatrix ax+y+z=1 & & \\ x+ay+z=1& & \\ x+y=1 & & \endmatrix\right.$ , discute por el teorema de Rouché-Fröbenius mediante el determinante de la matriz de coeficientes y después señala la respuesta correcta.

Dado el sistema de ecuaciones: $\left\\beginmatrix x+2y-kz=1\\ -y+z=0\\ kx+z=k \endmatrix\right.$ Discutirlo mediante el teorema de Rouché-Fröbenius según los valores de $k$ . Después, relacionar tipo de sistema resultante con cada posible solución.

Dado el siguiente sistema de ecuaciones: $\left\\beginmatrix x+y+z=0 & & \\ x-y+z=0& & \\ kx+z=0& & \endmatrix\right.$ , ordenar los pasos seguidos para discutirlo por el teorema de Rouché-Fröbenius mediante el método escalonado de Gauss.

Dado el siguiente sistema de ecuaciones: $\left\\beginmatrix 4x+3y+(m-1)z=0 & & \\ x-2y+mz=1& & \\ 5x+my+z=1& & \endmatrix\right.$ ¿Para qué valores se anula el determinante y el rango de la matriz A nunca puede ser $3$ ?

Dado el siguiente sistema de ecuaciones: $\left\\beginmatrix -mx+my+z=0 & & \\ x-my+3z=4 & & \\ 2x-2y-z=0& & \endmatrix\right.$ , discútelo mediante el teorema de Rouché-Fröbenius a partir del determinante de la matriz de coeficientes, determinar los valores de m que lo anulan y los posibles tipos de sistemas obtenidos.

Selecciona las respuestas correctas.

Dado el siguiente sistema de ecuaciones: $\left\\beginmatrix ax-y+z=0\\ x+y+az=0\\ ax+4y+2z=a \endmatrix\right.$ discute mediante el teorema de Rouché-Fröbenius y selecciona la respuesta correcta.

¿Para qué valores de $m$ el siguiente sistema es incompatible? $\left\\beginmatrix 3x+y+mz=1 & & \\ x-y+2z=-2 & & \\ 5x+(m+1)y+2z=4& & \endmatrix\right.$

Dado el siguiente sistema de ecuaciones: $\left\\beginmatrix 2x+ay+z=a & & \\ x-4y+(a+1)z=1& & \\ 4y-az=0 & & \endmatrix\right.$ relaciona cada sistema obtenido con el valor del parámetro que corresponde.

Resolver el siguiente sistema mediante el método de Rouché-Fröbenius y rellenar los huecos con la información pedida. $\left\\beginmatrix (a-1)x+y-z=0\\ (a-2)y+z=0\\ x+2z=0 \endmatrix\right.$

¿Para qué valores de $k$ el siguiente sistema es compatible indeterminado? $\left\\beginmatrix y+z=1\\ (k-1)x+y+z=k\\ x+(k-1)y+z=0 \endmatrix\right.$

Contestar con un valor numérico.

Descripción del test

Si estás en 2do de bachillerato y ya sabes diferenciar entre un sistema compatible de uno incompatible, aplicar el teorema de Cramer y de Rouché-Fröbenius, estás preparad@ para discutir un sistema de ecuaciones con parámetros, ¡anímate a hacer el test y ponte a prueba!

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