Test: Resolver ecuaciones matriciales del tipo AX = XA

Test

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Las preguntas que encontrarás en el test:

En general, ¿satisface el producto de matrices la propiedad conmutativa, es decir, $A\cdot B=B\cdot A$ ?

Dadas dos matrices $A$ y $B$ , ¿cómo deben ser ambas matrices para que podamos hacer los productos $A\cdot B$ y $B\cdot A$ ?

Señala las condiciones que tienen que cumplir dos matrices para ser iguales.

Para que dos matrices cuadradas $A$ y $B$ del mismo orden conmuten tiene que cumplirse que $A\cdot B=B\cdot A$ .

Dada la matriz $A=\beginpmatrix 1 & 3\\ 0 & 2 \endpmatrix$ señala cuál de estas matrices es igual a esta matriz $A$ .

Dadas las matrices $C=\beginpmatrix x &y \\ 2& 1 \endpmatrix$ y $D=\beginpmatrix 3 &1 \\ 1& -1 \endpmatrix$ señala las operaciones correctas.

Ordena los pasos a seguir para encontrar todos los valores posibles de $x,y$ para que las matrices $C=\beginpmatrix x &y \\ 2& 1 \endpmatrix$ y $D=\beginpmatrix 3 &1 \\ 1& -1 \endpmatrix$ conmuten.

Dadas dos matrices $A=\beginpmatrix 1 &1 \\ 1 & 1 \endpmatrix$ y $X=\beginpmatrix a &b \\ c & d \endpmatrix$ , empareja los pasos que damos para conseguir todas las matrices $X$ que conmutan con $A$ , es decir, que cumplan que: $AX = XA$ .

Dadas las matrices $A=\beginpmatrix 0 &0 &1 \\ 0& -1 & 0\\ 1& 0 &0 \endpmatrix$ y $B=\beginpmatrix a &b &c \\ 0& 1& 0\\ -1&0 &0 \endpmatrix$ , elige el resultado de la expresión $AB = BA$ .

La matriz $B=\beginpmatrix a &b &c \\ 0& 1& 0\\ -1&0 &0 \endpmatrix$ que conmuta con la matriz $A=\beginpmatrix 0 &0 &1 \\ 0& -1 & 0\\ 1& 0 &0 \endpmatrix$ tiene...

Elige cuáles de estas matrices conmutan con cualquier matriz cuadrada orden tres.

Señala las matrices que conmutan con la matriz $A=\beginpmatrix 1 &1 \\ 1 & 1 \endpmatrix$ .

Las matrices $A=\beginpmatrix 1 & 0 &1 \\ 0 & 1 &0 \\ 1 & 0 &1 \endpmatrix$ y $B=\beginpmatrix x & 0 &y \\ 0 & 1 & 0\\ z & 0 & t \endpmatrix$ conmutan...

Responde con la incógnita correspondiente.

Dada la matriz $A=\beginpmatrix 1 & 1\\ 0 & 1 \endpmatrix$ sabemos que conmuta con la matriz $B=\beginpmatrix a & b\\ x & y \endpmatrix$ .

Señala los valores de $a$ y $b$ para que las matrices $A=\beginpmatrix 0 &2 &1 \\ 2&0 & 2\\ 0 & 2 & 0 \endpmatrix$ y $B=\beginpmatrix a &0 & b\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 \endpmatrix$ conmuten.

Descripción del test

Si estás en 2º de Bachillerato con este test podrás practicar resolviendo ecuaciones matriciales del tipo AX = XA. Como ya sabes, al multiplicar dos matrices generalmente no se cumple la propiedad conmutativa así que estas ecuaciones surgen al querer que las matrices conmuten, es decir, al obligar a que se cumpla dicha propiedad. Así que toca multiplicar las matrices de las dos formas, igualarlas y después igualar elemento a elemento. De ahí sacaremos un sistema con las condiciones para que se cumpla la ecuación matricial y claro, habrá que discutirlo con Rouché y resolverlo con Gauss, Cramer... Pero, ¡vamos, no esperes más y ponte con el test!

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