Test: Estudiar un sistema y resolverlo utilizando el teorema de Rouché-Fröbenius

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Las preguntas que encontrarás en el test:

Un sistema de ecuaciones de la forma $A\cdot X=B$ , donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ es la matriz ampliada es INCOMPATIBLE si y solo si:

Un sistema de ecuaciones de la forma $A\cdot X=B$ , donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ es la matriz ampliada, es compatible determinado si y solo si el rango de dichas matrices coincide y además, también coincide con el número de incógnitas del sistema.

Señala las afirmaciones correctas para un sistema de ecuaciones de la forma $A\cdot X=B$ , donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ es la matriz ampliada:

El sistema $\left\\beginmatrix x+y-z=2\\ y+3z=4 \\ x-2y+z=1 \endmatrix\right.$ tiene:

Para el sistema $\left\\beginmatrix x+y-z=2\\ y+3z=4 \\ x-2y+z=1 \endmatrix\right.$ tenemos como matriz de coeficientes $A=\left ( \beginmatrix 1 & 1 &-1 &2 \\ 0 &1 & 3 & 4\\ 1& -2 &1 & 1 \endmatrix \right )$ y la ampliada $A^*=\beginpmatrix 1 & 1 & -1\\ 0 & 1 & 3\\ 1 & -2 &1 \endpmatrix$ .

Ordena los pasos que hemos dado para saber cuál es el rango de la matriz $M=\left ( \beginmatrix 1 & 1 &-1 &2 \\ 0 &1 & 3 & 4\\ 1& -2 &1 & 1 \endmatrix \right )$

El sistema de ecuaciones $\left\\beginmatrix x+y-z=2\\ y+3z=4 \\ x-2y+z=1 \endmatrix\right.$ es:

La solución del sistema dado por la matriz escalonada ampliada $\left ( \beginmatrix 1 & 1 &-1 &2 \\ 0 &1 & 3 & 4\\ 0& 0 &11 & 11 \endmatrix \right )$ es $S(2,1,1)$ .

Empareja cada sistema con su solución.

Ordena los pasos que hemos dado para discutir el sistema $\left\\beginmatrix 2x-y+t=9\\ x-2y+z=1 \\5x-y+z+t=20 \\ 5x-y-z+2t=1 \endmatrix\right.$ .

La solución del sistema que tiene como matriz escalonada ampliada $M^*=\beginpmatrix 1 & -2 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 3 & -2 & 1 & 7\\ 0 & 0 & 2 & -2 & -6\\ 0& 0 & 0 &-1 & -25 \endpmatrix$ es:

La solución del sistema que tiene como matriz escalonada ampliada $M^*=\beginpmatrix 1 & -3 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & -2 & 5 & 5\\ 0 & 0 & -2 & 3 & 7\\ 0& 0 & 0 &0 & 1 \endpmatrix$ es:

Si escalonamos la matriz $\beginpmatrix 1 & 1 & 1 & 1 & 3\\ 1 & -1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 &-1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & -1 & 5 \endpmatrix$ restando a la segunda, tercera y cuarta filas, la primera fila obtenemos:

El sistema $\left\\beginmatrix x+y+z+t=3\\ x-y+z+t=1 \\ x+y-z-t=1 \\ x+y+z-t=5 \endmatrix\right.$ es compatible:

Responde con la palabra "determinado" o "indeterminado" (sin las comillas).

La solución del sistema $\left\\beginmatrix x+y+z+t=3\\ x-y+z+t=1 \\ x+y-z-t=1 \\ x+y+z-t=5 \endmatrix\right.$ es:

Descripción del test

En este test de Matemáticas de 2º de Bachillerato vas a poder encontrar ejercicios para discutir y resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando el teorema de Rouché-Fröbenius. Ya sabes que para discutir un sistema lo que hacemos es comparar los rangos de las matrices de coeficientes y ampliada, para aplicar el teorema anterior. Y los rangos los hallamos escalonando la matriz con Gauss. Una vez que sabemos que el sistema es compatible, tendremos que resolverlo para encontrar su solución si es determinado, o sus infinitas soluciones si es indeterminado. ¡Venga, deja de pensarlo y acción! ¡A por el test!

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